Bulunduğunuz Yer: Anasayfa » Temel Bilgiler » Harita Temel Ödevler
Temel Bilgiler

Harita Temel Ödevler

Arazideki noktaların konumlarını daha kolay tespit edebileceksiniz. Noktalar arasındaki uzaklıkları, noktalar arası koordinatların durumlarını, oluşturdukları
doğrultuları, bu doğrultular arasındaki açıları ve doğruların kuzeyle yaptıkları semt açılarını
hesap yöntemiyle bulup çalışmalarınıza uygulayabileceksiniz.

1.BİRİNCİ TEMEL ÖDEV
Bir A noktasının koordinatları ile diğer bir nokta olan B noktası arasındaki uzunluk ve A noktasındaki semt açısı bilinirse B noktasının koordinatları hesaplanabilir. Bu hesaplamalara birinci temel ödev denir.

1.1. Birinci Temel Ödevin Şekli ve Verileri
A noktasının koordinatları ile bu noktadan B noktasına olan (AB) semt açısı ve |AB| (AB üzerinde üst çizgi yapamadım bu nedenle uzunluk şeklini “| |” şeklinde belirteceğim.) kenarı veriliyor. B noktasının koordinatları isteniyor.

Verilenler: Ya, Xa, (AB) ve |AB|     ->     İstenenler: Yb, Xb

Şekil 1.1’den kolayca görüleceği gibi,

Yb=Ya+ΔY  ve  Xb=Xa+ΔX

Burada Ya ve Xa verilmiş. ΔY ve ΔX bulunabilirse Yb ve Xb hesaplanabilir. Yine şekilden ve yukarıdaki eşitlikten görüleceği gibi, ΔY= Yb-Ya ve ΔX=Xb-Xa

ΔY ve ΔX’in işaretleri (AB) semt açısına bağlı olup artı ve eksi olabilir.

Yb=Ya+|AB|*sin(AB) ve Xb=Xa+|AB|*cos(AB) eşitlerinden elde edilen ΔY ve ΔX’lerin kontrolleri aşağıdaki bağıntılardan biriyle yapılabilir.

ΔX+ΔY= √2*|AB|*sin[(AB)+50g]

ΔX-ΔY= √2*|AB|*cos[(AB)+50g]

ΔY ve ΔX’i hesaplayabilmek için A ve B noktalarından Y ve X eksenlerine paraleller çizelim. Meydana gelen AKB üçgeni bir dik üçgendir (Şekil 1.2). Bu üçgenin A noktasındaki açısı (AB) semt açısına eşittir. Trigonometriden bildiğimize göre;

Şekil 1.1: Birinci temel ödev
Şekil 1.2: Birinci temel ödev

 

Sin(AB)=ΔY/|AB|=Yb-Ya/|AB|   ->   Cos(AB)=ΔX/|AB|=Xb-Xa/|AB| buradan,

Yb-Ya=|AB|*sin(AB)    ->    Xb-Xa=|AB|*cos(AB) şeklinde formüller bulunur. Yb ve Xb yalnız bırakırsak;

Yb=Ya+|AB|*sin(AB)    ->    Xb=Xa+|AB|*cos(AB) formülleri elde edilmiş olur.

1.2. İstenenler
A ve B gibi iki noktanın birisinin koordinatları verilip iki nokta arasındaki uzaklık ve semt açısı verildiğinde diğer noktanın koordinatları bulunur. Yani A noktasının koordinat değerleri verildiğinde, B noktasının koordinat değerleri istenir (Xb=? , Yb=? gibi). Ancak B noktasının koordinat değerleri verilip, A noktasının koordinat değerleri de
istenebilir (Xa=? , Ya=? gibi).

Koordinat Farkı Hesaplama

İki noktanın koordinat arasındaki farkı hesaplamak için;

ΔY=Yb-Ya veya ΔX=Xb-Xa formülleri kullanılır.

2. İKİNCİ TEMEL ÖDEV
Dik koordinatları bilinen iki nokta arasındaki kenar uzunluğu ile bu kenarların kuzey ile yaptığı açının bulunması problemi ikinci temel ödev olarak bilinir.

2.1. İkinci Temel Ödevin Şekli ve Verileri
Bir AB doğrusunun A ve B noktalarının koordinatları (Yb,Xb,Ya,Xa) veriliyor. A ve B noktalarını birleştiren doğrunun (AB) semt açısı ile AB kenar uzunluğunun hesabı isteniyor. Şekil 2.1’deki geometrik bağıntılardan,

tan(AB)=ΔY/ΔX -> (Yb-Ya)/(Xb-Xa) formülünden (AB) semt açısı hesaplanır.

Sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonlarından;

Sin(AB)=(Yb-Ya)/|AB|  ve  Cos(AB)=(Xb-Xa)/|AB|       (2.1)

Buradan |AB| uzunluğu,

|AB|=(Yb-Ya)/Sin(AB)  ve  |AB|=(Xb-Xa)/Cos(AB)      (2.2)

A ve B noktalarından Y ve X eksenlerine birer dik çizecek olursak meydana gelen AKB dik üçgeninde KB dik kenarının AK dik kenarına oranı (AB) semtinin tanjantını verir.

tan(AB)=ΔY/ΔX -> (Yb-Ya)/(Xb-Xa)                                (2.3)

Formülden görüldüğü gibi B noktasının koordinatlarından A noktasının koordinatları çıkarılarak bulunan 
ΔY=Yb-Ya veya ΔX=Xb-Xa farkına bölünerek (AB) semt açısının tanjant değeri bulunur. Semt açısının hangi bölümde olduğunu anlamak için ΔY ve ΔX’lerin işaretlerine bakmak yeterlidir. (Tablo 2.1)

Tablo 2.1: Y, ΔY, sinα, X, ΔX ve cosα’nın bölgelere göre işaretleri

(2.3) eşitliğine göre (AB) semti ΔY ve ΔX’lerin işaretlerine bağlı olarak dört bölgede olabilir. Eğer ΔY / ΔX ‘in işaretleri,

Tablo 2.2: İkinci temel problemde açıların bölgelerde gösterilişi

 

Şekil 2.1: İkinci temel ödev

 

Semt açısı bulunduktan sonra bu açı ve ΔY=Yb-Ya veya ΔX=Xb-Xa farkları yardımı ile AB kenarı hesaplanır. Kenarın hesabında birinci temel ödevde gördüğümüz,

Yb-Ya=|AB|*sin(AB)    ->    Xb-Xa=|AB|*cos(AB) formüllerinden yararlanılır. Bu formüllerden sin(AB) ve cos(AB) diğer tarafına alınarak AB kenarının hesap formülleri bulunur.

|AB|=(Yb-Ya)/Sin(AB)=(Xb-Xa)/Cos(AB)          (2.4)

Görüldüğü gibi AB kenarı bir kere ordinat farkının sin(AB)’ye bölünmesinden, bir kerede apsisler farkının cos(AB)’ye bölünmesinden elde edilir. Fakat hesaplanırken güvenirliği artırmak için, apsis ve ordinat farkının hangisi büyükse onunla işlem yapılır. (AB) semt açısı 50g dan küçük olduğu zaman ΔX’ler ΔY’lerden büyük büyük, semt açısı 50g ile 100g arasında bulunduğu zaman ise ΔY’ler ΔX’lerden büyüktür. Buna göre açı 50g dan küçük ise kosinüsü alınarak ΔX buna bölünür. Açı 50g ile 100g arasında ise sinüsü alınır ve ΔY buna bölünerek AB kenarı bulunur. 100g dan büyük açılarda 100g dan çıkarılıp geriye kalan dar açı ile hesap yapılacağı için yine yukarıda anlatıldığı gibi işlem yapılır. (AB)=α açısının kontrolü ise (α+50g) ‘ın bulunmasıyla sağlanır.

tan(α+50g)=(ΔX+ΔY) / (ΔX-ΔY)             (2.4)   eşitliği kenar için aynı zamanda bir kontrol sağlamakla birlikte

|AB|=ΔY*sin(AB)+ΔX*cos(AB)=+√ΔY²+Δx² formülü de kontrol için kullanılır.

2.2. İstenenler
A ve B gibi iki noktanın koordinatları verildiğinde, semt açısı ve iki nokta arasındaki uzunluk bulunur. Yani A ve B noktasının koordinat değerleri verildiğinde, semt açısı ve iki nokta arasındaki uzunluk istenir ( (AB), |AB| gibi).

3. ÜÇÜNCÜ TEMEL ÖDEV
(AB) semti ve β kırılma açısı bilindiğine göre (BC) semtinin bulunması problemi “üçüncü temel ödev” olarak isimlendirilir.

3.1. Üçüncü Temel Ödevin Şekli ve Verileri
Bir AB doğrusunun semt açısı ve bu doğru ile diğer bir BC doğrusu arasındaki β açısı veriliyor. BC doğrusunun semt açısı isteniyor.

Şekil 3.1: Üçüncü temel ödev

 

Şekil 3.2: Üçüncü temel ödev

Şekil 3.1’den anlaşılacağı gibi (BC)=(BA)+β’dır. Ancak Şekil 3.2’deki (BA) semti ile β açısının toplamı 400 graddan büyük olmaktadır. Bir açıya 400 grad ilave veya çıkarıldığında o açının değeri değişmeyeceğinden 400 graddan büyük çıkan açılardan 400 grad çıkarılarak (BC) semt açısı bulunur. (BA) semt açısı yerine (AB) semt açısı verilmiş ise (BA)= (AB) ± 200g olduğu için, yukarıdaki formülde (BA)’nın yerine yerine konulacak olursa (BC)= (AB)+ β ± 200g bulunur.

3.2. Kırılma Açısı
Şekil 3.1 veya şekil 3.2de olduğu gibi, AB ve BC kenarlar arasında kalan açıya (β) kırılma açısı denir.

Şekil 3.3: Beta Kırılma açıları

 

3.2.1. Kırılma Açısının Yardımıyla Semt Açısı Değerinin Hesaplanması

Şekil 3.1 ve Şekil 3.2’ye göre (BC) semti, (BC)=(AB)+ β ± 200g Semt hesaplanırken şu kurallara uyulur.

Tablo 3.1: 200 Gradın ne zaman toplanıp, ne zaman çıkarılacağının gösterilişi

 

Yani (AB) semt açısı ile β kırılma açısı toplamı 0 ile 200 grad arasında ise 200 grad eklenir. 200 grad ile 600 grad arasında ise 200 grad çıkarılır. 600 grad ile 800 grad arasında ise 600 grad çıkarılır.
Bu durumları şekiller üzerinde görmek mümkündür.

Şekil 3.4 : (BC)=(AB)+ β + 200g

 

Şekil 3.5 : (BC)=(AB)+ β – 200g

 

Şekil 3.6: (BC)=(AB)+ β – 200g

 

Şekil 3.7: (BC)=(AB)+ β – 600g


4. DÖRDÜNCÜ TEMEL ÖDEV

A, B, C noktaları koordinatları ile verildiğine göre bu noktaları birleştiren doğrular arasındaki açının bulunması problemi “dördüncü temel ödev” dir. Bu temel ödev ikinci temel ödevin bir uygulamasıdır.

4.1. Dördüncü Temel Ödevin Şekli ve Verileri
A, B, P üç noktanın koordinatları veriliyor. Bu noktaları birleştiren doğrular arasındaki β açısı isteniyor.

Şekil 4.1: Dördüncü temel ödev

 

Şekil 4.2: Dördüncü temel ödev

Yukarıdaki Şekil 4.1’de görüldüğü gibi (BP)-(BA)=β’dır. Şekil 4.2’de (BP)<(BA) olduğu için (BP) = 400g + (BP) olarak düşünülmelidir. O zaman yine 400g + (BP) = β olur. A, B, P noktalarının koordinatları verildiğine göre (BP) ve (BA) semtleri ikinci temel ödeve göre hesaplanabilir. Hesaplanan semtlerin β elde edilir.

4.2. İstenenler
Şekil 4.1 ve Şekil 4.2’de görüldüğü gibi A, B ve P noktalarının koordinat değerleri
veriliyor. Bu değerler doğrultusunda semt açıları bulunur. Buna göre iki doğru narasındaki β kırılma açısı istenir.

Temel ödevler öğrendik daha pratik olmak için örnekler çözmenizi tavsiye ederim.