Harita Alan Hesaplamaları

Arazi parçalarının, ada ve parsellerin alanlarını bulma becerisini kazanmak için iki alan hesaplama yöntemini ele alacağım. Bunlardan biri Ölçü değerlerine göre (Thomson) diğeri ise Koordinatlarına göre alan (Gauss) hesaplamalarıdır.

A. ÖLÇÜ DEĞERLERİNE GÖRE ALAN HESABI (THOMSON YÖNTEMİ)

Araziden elde edilen ölçülerin alım şekline ve istenen duyarlılık derecesine göre düzgün geometrik şekillere bölünebilen arazilerin ve parsellerin ölçü değerlerine göre alan hesapları birkaç ayrı yolla yapılabilir.

A.1. Bağlama Yöntemi

Bu yöntemle alanı hesaplanacak parsellerin alımı sırasında parseller, alanları kolayca bulunabilecek düzgün geometrik şekillere ayrılır. Alanları bulunacak geometrik şekiller ise genellikle üçgen, dikdörtgen, kare, yamuk ve paralel kenar olabilir. Bu şekillerin alan formüllerinden yararlanabiliriz.

Örnek:
Parsel üçgenlere ayrılmış ve oluşan üçgenlerin kenarları ölçülmüş ise üç kenarı belli olan üçgenin alanı:

U=(a+b+c)/2 ise F=√u(u-a)(u-b)(u-c) formülü ile hesaplanabilir.

Diğer bir örnek,

Şekildeki parselin alımı “bağlama yöntemi” ile yapılarak ölçü değerleri elde
edilmiştir. Bu parselin alanını hesaplayınız.
a = 25,40 m d = 27,82 m
b = 36,55 m e = 21,25 m
c = 16,80 m

A.1. Dik Koordinat Yöntemi

Bu yönteme göre alım yapılırken ya parselin bir kenarı ölçü doğrusu olarak kabul edilir veya parselin herhangi bir yerinden ölçü doğrusu geçirilir (Bu poligon kenarı da olabilir.). Dik ayak –dik boyları ölçülür.

Başlangıç ve parsel geçiş noktaları ölçü doğrusu üzerindeyken veya değilken oluş şekilleri vardır.
Çokgen şeklindeki parselin ölçü doğrusu (d), çokgenin bir kenarı (AE) ise veya çokgenin köşe noktalarından geçiyorsa bu ölçü doğrusuna dayalı olarak bu yöntem ile çokgenin dik ayak (a, b, c, d) ve dik boyları (h1, h2, h3) ölçülür. Bu çokgenin alanı; ölçü doğrusuna düşülen her dik boyunun, her birine komşu olan iki tabanın toplamıyla çarpılması ve çarpımlar toplamının yarısına eşittir.
Buna göre: 2F = h1 ( a + b ) + h2 ( b + c ) + h3 ( c + d ) +… eşitliği yazılır. Buna Thomson alan bağıntısı adı verilir.

Bu çokgenin alanı bu yöntemle hesaplanabileceği gibi çokgenin köşe noktalarından inilen diklerle (h1, h2, h3) çokgen; dik üçgen ve yamuk gibi geometrik şekillere bölünmüş
olacağından bu şekillerin alanlarının toplanması ile de çokgenin alanı hesaplanır.

A.1. Alan Hesaplarında Hata Sınırı

Alan hesaplamaları, ölçüm ve çizim çalışmalarının sonucunda gerekli kontroller yapıldıktan, paftalar kesinleştikten sonra yapılır. Parsellerin alanları köşe ve kırık noktalarının koordinatlarından desimetrekareye kadar hesaplanır. Kontrol amacıyla ada yüzölçümü grafik yöntemle hesaplanarak parsel alanları toplamı ile karşılaştırılır. Bu iki hesaplama arasındaki fark, yerleşik alanlarda;

f = 0.013√MF+0.0003 F

formülünün verdiği miktardan büyük olamaz (yerleŞik alanlarda yanılma – hatasınırı). Burada;
M: Pafta ölçeğinin paydasıdır.
F: Metrekare cinsinden ada alanıdır.
Farkın, formülün verdiği değerden büyük çıkması durumunda, hem çizim hem de
hesaplamalar kontrol edilerek hatalar giderilir.

Farkın, formülün verdiği değerden küçük çıkması durumunda koordinatlarla yapılan hesap, hatasız kabul edilir.
Yapılaşmamış alanlarda idarenin izni ile parsellerin alanları planimetrelerle (alan ölçer) veya diğer grafik yöntemlerden biri ile hesaplanabilir. Parsellerin ayrı ayrı alanları ile parsellerin oluşturduğu ada alanı hesaplanır, ada alanı ile parsellerin alanları toplamı arasındaki alan farkı, aşağıdaki formülün verdiği miktardan fazla olamaz.

f = 0.0004M√F+0.0003 F (yapılaşmamış-yerleşim dışı – alanlarda hata sınırı)

B. KOORDİNATLARINA GÖRE ALAN HESABI ( GAUSS YÖNTEMİ )

Koordinatlarına göre alan hesabı, yamuklarla alan hesabı ve üçgenlere göre alan hesabı olmak üzere iki kısımda incelenmektedir.

B.1. Yamuklarla Alan Hesabı

Şekil 1’deki parselin, ölçü doğrusu olarak kullanılan AD kenarını dik koordinat sisteminin y ekseni A noktasını orijin (merkez) olarak kabul edecek olursak dik boyları x, dik ayakları y, parsel köşelerinin koordinatları olur (şekil 2)

Buna göre alanı üçgen ve yamuklara ayırarak hesaplamak için yapılacak işlemi formül olarak şöyle yazabiliriz:
2F = x2(y2-y1)+(y3-y2)(x3+x2)+(y4-y3) x3

Şekil 1: Parselin A noktası orijin AD kenarının dik koordinat sistemi olarak kabul edilmesi

Şekil 2: Her üçgeni paralel kenarlardan birinin uzunluğu sıfır olan bir yamuk olarak kabul edeceğimize göre yukarıdaki formül yerine:
2F = ( y2- y1 ) ( x2+x1 )+ ( y3-y2 ) (x3+x2)+ ( y4-y3 ) ( x4+x3 ) yazılır.

Bu formül incelendiğinde her terim birbirini izleyen köşe noktalarının koordinat farkları ile apsisleri toplamlarının çarpımıdır. Bütün terimler toplamları ise alanın iki katını vermektedir. ġu hâlde formülü daha genel olarak 2F = Σ ( yn+1 – yn )(xn+1+xn) şeklinde yazmak mümkündür. Formüldeki Σ işareti bütün terimlerin toplam işaretidir, n harfi herhangi bir noktayı ifade eder. n+1 ise saat ibresinin hareketi yönünde n’den sonra gelen noktadır. Örneğin, Şekil 2’de görüldüğü gibi bir numaralı nokta n olarak kabul edilirse n+1 iki numaralı nokta olur. Fakat n dört numaralı nokta alınacak olursa n+1 saat ibresi hareketi yönünde n’den sonra gelen nokta yani bir numaralı noktadır.

Dik koordinat sistemi ekseni olarak alınan ölçü doğrusu, parselin bir köşegeni olmayıp Şekil 3’te görüldüğü gibi herhangi bir doğru ise; 2F = Σ (yn+1 – yn )(xn+1+xn) formülü yine geçerlidir. Çünkü burada ölçü doğrusunun altında kalan yamukların ordinatlarının farkları (yn+1 – yn)dır. Buna göre, orijin noktasına daha yakın olan noktanın ordinat değerinden daha uzak noktanın ordinat değeri çıkarılacağı için “–“ işaretlenir. Apsislerde eksi işaretli olduklarından çarpım işareti yine “ + “ olacaktır.

Önemli olan (p3) ve (p4) numaralı köşeler arasında kalan alandır. Burada paralel kenarların biri artı diğeri ordinat ekseninin altında olduğu için eksi işaretlidir. Dikkat edilecek husus burada hesaplanmak istenen alan p3, y3, s üçgeninin alanı iken şekilde taranmış olan s, y4, p4 üçgenin alanı kadar eksik bir hesap yapılmış olacaktır. Yani hesaplanmış olan NM y3 S yamuğunun alanına eşit olacaktır.

Çünkü bu kısmın alan hesabı 2F = Σ (yn+1 – yn )(xn+1+xn) formül gereğince
(y4- y3)(x4+x3) şeklinde veya x4’ün işareti “ – “ olduğu için (y4- y3)(x3-x4) şeklinde yapılacaktır.
Oysa burada MN = sy4 olduğundan (y4- y3) = MN + y3S’dir, ikinci çarpan ise x4 eksi değerli olduğundan (x3-x4) = My3 olacaktır.
Taranmış olan üçgenin alanı kadar bir alan eksik hesaplanmasına karşılık p4 y4 y5 p5 yamuğunun hesabında da bu üçgenin alanına eşit bir alan fazla olarak hesaplanacaktır. Az ve fazla olarak hesaplanan alanlar birbirlerine eşit olduğundan parselin alanı doğru olarak hesaplanır.
Yukarıdaki örneklerde ölçü doğrusu ordinat olarak alınmıştır. Ölçü doğrusu apsis olarak alınırsa formülde ordinatlarla apsisler yer değiştirir.

2F = Σ (xn+1 – xn )(yn+1+yn)–
Ancak bu formülden bulunan değer, 2F = Σ (yn+1 – yn)(xn+1 + xn) formülünden bulunan değerin ters işaretlisidir. Sonuçları “ – “ yerine “ + “ işaretli olarak bulmak istersek birinci çarpandaki x değerlerinin yerini değiştirebiliriz.

2F = Σ ( xn – xn+1 )( yn + yn+1 )
Yukarıdaki formüllere Gauss tarafından bulunduğu ve alanlar yamuklardan yaralanılarak hesaplandığı için “Gauss’un yamuklarla alan hesabı formülleri” denir.
Bu formüller, ölçü doğrundan geçen bir dik koordinat sistemi yerine herhangi bir koordinat sistemine göre hesaplanmış koordinatlarda kullanıldığı zaman da geçerlidir.

Örnek:

Kontrolü:

B.2. Üçgenlere Göre Alan Hesabı

Koordinatlarla alan hesabını daha kolaylaŞtırmak için parselin alanını yamuklar yerine üçgenlerle hesaplayabiliriz. Buna göre Şekil 4’teki parselin alanı, 2F=( y3 – y1 )x2 + ( y4 – y2 )x3 + ( y6-y4 )x5 + ( y1- y5 )x6 şeklinde hesaplanabilir.

Bu formülde üçüncü ve dördüncü terimlerdeki y’ler farkı “ – “ değerli çıkacağı ve bunlarla çarpılacak olan x5 ve x6 değerlerinde “ – “değerli olduklarından sonuç yine “ + “ olacaktır.
Formül incelenecek olursa daima bir noktanın x değeri ile bu noktadan bir sonraki ve bir önceki noktaların y değerleri farkları çarpımlarının toplamı, alanın iki katını vermektedir. Buna göre alan formülü genel olarak,
2F = Σ ( yn+1 – yn-1 )xn şeklinde yazılabilir.

2F = Σ ( yn+1 – yn-1 )xn formülünü yukarıdaki Şekil 4 için yazarsak,

2F=( y3 – y1 )x2 + ( y4 – y2 )x3 + ( y6-y4 )x5 + ( y1- y5 )x6

formülünde yazılmış olanların iki terim daha fazla olduğunu görürüz. Bu terimler (y5 – y3 ) x4 ve ( y2 – y6 ) x1 dir. Ancak şekilde görüldüğü gibi x4 = 00 ve x1 = 00 olduğundan bunların çarpımları sıfır olacağı için yukarıdaki formüle yazılmamıştır.
Eğer ölçü doğrusu olarak y ekseni yerine x eksenini alırsak 2F = Σ ( yn+1 – yn-1 )xn formülündeki y’lerle x’ler yer değiştirir.
2F = Σ ( xn+1 – xn-1 )yn Ancak bu formül ile bulunacak değerler “ – “ işaretli olacaktır. Fakat parantez içindeki x’lerin yerleri değiştirilirse parantezin işareti de değiştirilmiş olacağından sonuç yine “ + “ işaretli olarak bulunur. Buna göre kesin formül, 2F = Σ ( xn-1 – xn+1 )yn şeklinde yazılır.

Bu formüller ölçü doğrusunun herhangi bir doğru olması hâlinde de geçerlidir.