Küçük Nokta ve Yan Nokta Hesaplamaları

Bir Cevap Yazın

Koordinatlar, noktaların yerküresi üzerindeki adresleridir. Koordinat bilgisi, haritacılık ve kadastroculuk mesleğinde önemli bir yer tutar. Yapılan birçok çalışma koordinat bilgisine dayanır. Birçok altyapı ve üstyapı projelerinin (yol, demir yolu, enerji nakil hattı, temiz ve pis su nakli, tünel yapımı, bina yapımı gibi) yapımında öncelikle haritaların yapımı gereklidir. Nirengi ve poligon noktalarının koordinatlarının hesabından başka detay noktalarının koordinatlarının da bilinmesi gerekir.
Bu modülle küçük nokta, yan nokta, dik ayak ve dik boyu hesabının nasıl yapıldığını öğreneceksiniz.

1.KÜÇÜK NOKTA HESABI

Koordinatları bilinen iki noktayı birleştiren doğrunun üzerinde alınan her bir yardımcı noktaya küçük nokta denir (Şekil 1.1).

Şekil 1.1: Küçük nokta

1.1. Koordinat Hesaplarında Özel Hâller

Koordinat hesaplarında her zaman nirengi ve poligon noktalarının koordinatları hesaplanmaz. Sayısal harita ve planlarda detayların da koordinatlarının bilinmesi gerekir.
Detay noktalarının koordinatlarının hesabında küçük nokta, yan nokta, doğruların kesim noktası ve doğruların uzantısının kesişim noktasının koordinatlarının hesabı gibi yöntemler kullanılır.

1.2. Küçük Nokta Hesabı ve Örnekler

Küçük noktaların koordinatlarının hesabı için yalnız bu noktalar arasındaki uzunlukların ölçülmesi yeterlidir (Şekil 1.2).
A ile (1) noktası arasındaki s1, (1) ile (2) noktaları arasındaki s2, (2) ile B noktaları arasındaki sb uzunlukları ölçülmüş ise (1) ve (2) numaralı noktaların koordinatlar hesaplanabilir.

olduğundan bu denklemlerdeki Δy ve Δx’lerin yerine (4)
denklemlerindeki eşitliklerini koyarak;

ÖRNEK:

d) a ve o değerleri (3) formüllerine göre hesaplanır ve üçüncü sütuna yazılır.
e) (4) formüllerine göre Δy ve Δx’ler hesaplanarak 6 ve 7. sütunlara yazılır ve yb-ya=[o.sn] ile xb-xa=[a.sn] kontrolleri yapılır.
f) Hesaplanmış olan koordinat farkları daima bir evvelki noktanın koordinatlarına eklenerek yeni noktaların koordinatları hesaplanır. B noktasının yeniden bulunan koordinatları ile verilen koordinatları aynı olmalıdır.

2.YAN NOKTA HESABI

Koordinatları bilinen iki noktayı birleştiren doğrunun dışında alınan ve doğruya dik düşülerek koordinatları hesaplanabilen her bir yardımcı noktaya yan nokta denir (Şekil 2.1).

2.1. Yan Nokta Hesabı ve Örnekler

Bir işlem doğrusu üzerine dik düşülmüş olan noktaların (yan noktaların)
koordinatlarının hesabı, özellikle koordinatlarla yapılan çizim ve alan hesaplarında önemlidir.

ÖRNEK:

3.DİK AYAK VE DİK BOYU HESABI

Koordinatları bilinen iki noktayı birleştiren doğrunun dışındaki koordinatları bilinen bir noktadan doğruya dik düşüldüğünde doğru üzerindeki uzunluğa dik ayak boyu, dikin uzunluğuna da dik boyu denir.

Şekil 3.1: Dik ayak, dik boyu örneği

3.1. Doğruların Kesim Noktasının Koordinat Hesabı

A, B, C ve D noktalarının koordinatları bilindiğine göre AC ve BD doğrularının (Şekil 3.2 ve Şekil 3.3) birbirlerini kestiği P noktasının koordinatlarının hesabı istenirse hesap makinesi ile semt açılarına göre ileriden kestirme hesabı şeklinde;

Prizmatik ölçü değerlerine göre yapılan hesapta doğruların eğim açıları (yani doğruların ölçü doğrusu ile meydana getirdikleri açılar) semt açısı olarak kabul edilir.

3.2. Koordinatlardan Faydalanılarak Dik Ayak ve Dik Boyunun
Hesabı

A, B ve C noktaları koordinatları bilinen noktalardır. C noktasının dik ayağı ve dik boyu uzunluklarını hesaplayalım.

Umarım faydalı olmuştur, iyi çalışmalar.

Kestirme Hesaplamaları

Bir Cevap Yazın

Haritacılık mesleğinde yatay yer kontrol noktaları ne kadar önemliyse bu noktaların koordinatlarının hesabı da o kadar önemlidir.

Birçok altyapı ve üstyapı projelerinin (yol, demir yolu, enerji nakil hattı, temiz ve pis su nakli, tünel yapımı, bina yapımı gibi) uygulanmasında yer kontrol noktaları hep karşınıza çıkacaktır. Bundan dolayı yer kontrol noktalarının koordinat hesabının mesleğinizdeki önemi çok büyüktür.

Bu yazımızda ileriden (önden) kestirme, yandan ve geriden kestirme hesaplarının nasıl yapıldığını göstereceğim. Örnekler için belki ileri ki bir dönemde farklı bir formatta paylaşabilirim.

1.İLERİDEN (ÖNDEN) KESTİRME

1.1. Arazide İleriden Kestirme

İleriden kestirme, koordinatları bilinen A ve B gibi iki noktadan, koordinatları hesaplanmak istenen P noktasına bakılarak α ve β açılarının ölçülmesi suretiyle yapılan nokta tayinidir. Önden kestirme de denir (Şekil 1.1). P noktası zeminde de olabilir, ulaşılmayan bayrak direğinin tepe noktası gibi bir noktada da olabilir.

Şekil 1.1.

* Uygulama için α + β yatay açılarını ölçebilen elektronik teodolit, alet sehpası, iki jalon ve jalon sehpası bulundurunuz. Arkadaşlarınızla üçer ya da beşerli gruplar oluşturunuz.

Her bir grup için gerekli bir tane elektronik teodolit, bir tane ağaç ya da demir kazık ve bunları çakacak çekiç bulundurunuz.
* Grup içerisinde iş bölümü yaparak açı ölçecek, jalonları yerleştirecek, ölçüleri yazacak kişileri belirleyiniz.
* Arazide aşağıdaki gibi kroki çiziniz.

Şekil 1.2: Arazide ileriden kestirme

Şekildeki A ve B noktalarını nirengi ya da poligon noktası gibi koordinatları bilinen noktalar olacak şekilde seçiniz. P noktasını ise ağaç kazık veya demir boru ile koordinatları belirlenecek nokta olması için işaretleyiniz.
*A’ya elektronik aleti kurup ölçüye hazır hâle getirdikten sonra aleti P noktasındaki jalona yatay açıyı sıfır ile yönlendirip saat ibresinin yönünde çevirerek B jalonuna düşey kılağı çakıştırılıp α yatay açı okunur. Sonra aleti B noktasına kurup ölçüme hazır hâle getirdikten sonra A noktasındaki jalona yatay açıyı sıfır ile yönlendirip saat ibresinin yönünde çevirerek P jalonuna düşey kılağını çakıştırarak β yatay açısı ölçülür.
* A ve B noktalarının koordinatlarından AB uzunluğunu şu formülle hesaplayınız:
AB=√(Yb-Ya)2+(Xb-Xa)2 formülünden kenar uzunluğu hesaplanır.
*α + β + γ =200grad γ = 200- (α + β) formülünden γ’yı hesaplayınız.
*Sonraki işlem adımları için yukarıda ileriden kestirme hesabı konusunda verilen örneğin çözümündeki adımları aynen uygulayınız ve P noktasının ortalama x, y değerlerini hesaplayınız.

2.YANDAN KESTİRME

Yandan kestirme şeklindeki nokta tayini de ileriden (önden) kestirmenin aynıdır. Ancak burada hesaplanmak istenen noktadaki açı yerine, koordinatları bilinen noktalardan birindeki açı ölçülememektedir.

2.1. Arazide Yandan Kestirme

Uygulama için arkadaşlarınızla üçer ya da beşerli gruplar oluşturunuz.
* Her bir grup için gerekli teodolit ve sehpasını, ağaç ya da demir kazıkları ve en az iki jalonu hazırlayınız.
* Grup içerisinde iş bölümü yaparak açı ölçecek, jalonları yerleştirecek, ölçüleri yazacak kişileri belirleyiniz.
* Arazide aşağıdaki şekli oluşturunuz.

Şekil 2.1: Arazide yandan kestirme

Şekildeki A ve B noktalarını nirengi ya da poligon noktası gibi koordinatları bilinen noktalar olacak şekilde seçiniz. P noktasını ise ağaç kazık veya demir boru ile koordinatları belirlenecek nokta olması için işaretleyiniz.
* P’ye teodoliti, A ve B’ye jalonları yerleştiriniz. Önce teodolitle A’ya sonra da B’ye bakışlar yaparak γ açısını belirleyiniz.
* Bu defa B’ye teodoliti, A ve P’ye jalonları yerleştiriniz. Teodolitle önce P’ye sonra da A’ya bakışlar yaparak β açısını belirleyiniz.
* A ve B noktalarının koordinatlarından AB uzunluğunu hesaplayınız.
* α + β + γ =200 grad α =200- (γ + β) formülünden α’yı hesaplayınız.
* Sonraki işlem adımları için yukarıda yandan kestirmenin hesabı konusunda verilen örneğin çözümündeki adımları aynen uygulayınız. P noktasının ortalama x, y değerlerini hesaplayınız.

3.GERİDEN KESTİRME

Geriden kestirme şeklinde nokta tayini, koordinatları bilinen iki noktadan alet kurulan noktanın koordinatlarının hesaplanmasına geriden kestirme denir. Geriden kestirmede hesabın yapılabilmesi için bilinmeyen noktalardan en az üç noktaya bakılarak açıların ölçülmesi gereklidir. Ancak bu şekilde yapılan bir geriden kestirme ve hesabı kontrolsüzdür. Geriden kestirme noktası koordinatlarının kontrollü olarak hesaplanabilmesi için bu noktadan koordinatları bilinen en az dört noktaya bakılarak bunların aralarındaki açılar ölçülmelidir.

Şekil 3.1. Geriden kestirme

Amacı: Koordinatları bilinmeyen noktayı, çevredeki uygun koordinatlı noktalar yardımıyla koordinatları bilinir hale getirmektir.

3.1. Elektronik Ölçme Aletiyle Geriden Kestirme

Eğer reflektör (prizma) ile geriden kestirme yapılacak ise iki poligon noktası yeterlidir. Alet mesafe modunda çalışır. Eğer pilyede (nirengide) geriden kestirme yapılacak ise üç pilyeye bakılır. Alet, açı modunda çalışır.

İşlem sırası
• A noktasına total station kurulur. Optik şakulden bakılarak alet noktaya merkezlenir. Düzeçlenerek ölçüme hazır hâle getirilir.
• A noktasına kurulan alet görebileceği bir poligon ya da pilyede sıfırlanır.
• Alette menüden aplikasyon programına girilir.
• Açılan pencerede yeni bir dosya adı girilir. Kabul edildikten sonra bir arka pencereden yeni nokta kabul edilir. Daha sonra Geriden Kestirme butonuna basılır.
• Ekrana çıkan yeni nokta dediği alet kurduğumuz A noktasının ismi (P.1 gibi) girilir. Kabul ettikten sonra ekran köşesinde (001) gibi rakam çıkar. Yani “Geriden kestirme yapacağın ilk poligonun koordinatlarını gir.” demektir.
• İlk noktanın koordinatlarını girdikten sonra kabul edilir ve o poligona reflektör gönderilerek MESAFE tuşuna (pilye’de çalışılınca AÇI tuşuna) basılır.
• Aletin ekranında (002) gibi rakam çıkar. Yani “Geriden kestirme yapacağın ikinci poligonun koordinatlarını gir.” demektir. Koordinatlar girildikten sonra kabul edilir ve o poligona reflektör gönderilerek MESAFE tuşuna basılır.
• Elektronik aletimiz şimdi hafızasındaki bu iki poligonun koordinatlarından faydalanarak alet kurduğumuz (P.1) noktayı HESAPLA tuşuna bastığımızda koordinatlandırmış oluruz. Geriden kestirme işlemi tamamlanmış olur.

Psiko-Analist

Bir Cevap Yazın

Gerek iş yoğunluğu gerekse üşengeçlikten bu kategoriyi boşladığımı fark ettim. Yeni yıl vesilesiyle de bir paylaşım yapma isteği doğdu :-)

Yeni yıla bir kitap tanıtımıyla başlayalım. Öncelikle eser sahibinden kısaca bahsetmek isterim. Sevgili John Katzenbach, iyi bir kurgu yazarıdır. Korku gerilim alanında gayet başarılı eserleri mevcut, kurguları merak uyandırıcı bir yöne sahip. İlk okuduğum eseri olan Psiko-Analist’i bir solukta okudum, kitabını sizlere tavsiye niteliğinde sunmak isterim.

Psiko-Analist, baş karakterimiz bir psikanalist olan Dr. Frederick Starks. Eşi vefat etmiş ve yalnız yaşayan bir adam. Eşinin vefatından 3 yıl sonra muayenehanesine gelen tatsız bir mektup ile korkuya kapılır. Mektubun ilk satırında; “53. doğum günün kutlu olsun, doktor. Ölümünün ilk gününe hoş geldin.” cümleleriyle hayatındaki tekdüzeliğin aniden değiştiğini hisseder. O tatsız mektubu gönderenin amacı ve yaşadıkları bir sır perdesi gibi…

Korku gerilim sevenlerin keyif alacağı bir eser, iyi okumalar.

YÜKSEKLİK ÖLÇMELERİ – Geometrik Yöntem – 1

Bir Cevap Yazın
  1. GEOMETRİK YÖNTEMLE YÜKSEKLİĞİN ÖLÇÜLMESİ VE HESABI – 1

Nivelman: Bir düzlem esas alınarak diğer noktaların bu düzlem ile arasındaki yükseklik farkının bulunması işlemidir.
Memleketimizin deniz seviyesine göre tüm yüzeyinin yükseklikleri tespit edilip buna göre tesviye eğrili haritalar hazırlanmıştır. Bu haritalardan herhangi bir noktanın deniz seviyesine veya başka bir noktaya olan düşey uzaklıkları hesaplanır. Uygulamalarda bu tesviye eğrili haritalardan faydalanılır. Doğru bir çalışma yapmak için uygulama yapılacak alanın yeniden nivelmanının yapılması gerekir.
Nivelmanla noktalar arasındaki yükseklik farkları ölçülür. Ölçülen yükseklik farkları, yüksekliği önceden belli olan noktaların yüksekliklerine eklenerek yeni noktaların yükseklikleri bulunur. Yöntemine uygun olarak tesis edilmiş, yapılan ölçme ve hesaplamalarla yükseklikleri belirlenmişolan noktalara nivelman noktası denilir.
Geometrik nivelmanda noktalar arasındaki yükseklik farkları, bu noktaların yatay bir düzleme olan düşey uzaklıkları ölçülerek bunların farkı alınmak suretiyle bulunur. Noktaların yatay düzlemden düşey doğrultudaki uzaklıklarını ölçmek için noktalar üzerine düşey olarak mira tutulur ve nivelman düzleminin bu miraları kestiği yerde mira okumaları yapılır.

1.1. Nivelman İşlerinde kullanılan Araç ve Gereçler

Nivelman aletlerinin esası, yatay bir gözlem düzlemini gerçekleştirecek bir düzenden ibarettir. Geometrik nivelmanda yatay bir gözlem düzlemi oluşturmak amacıyla genellikle nivo, noktaların yatay gözlem düzleminden olan uzaklığını ölçmek için de mira kullanılır.
Nivoda yataylığı sağlamak için düzeç ve miradaki okumaları kolaylaştırmak için de dürbün kullanılır. Aleti istenilen yöne çevirmeye yarayan bir düşey ekseni ve yataylanması için de üçayak ile donatılmıştır. Nivolarda yatay düzlem, dürbünün optik ekseninin yataylanması ile sağlanır. Bir de aleti taşımaya yarayan sehpası vardır.
Nivolar alt ve üst yapı olmak üzere iki kısımdan oluşur. Alt yapıda düşey eksen ile üçayak bulunur. Ayrıca yatay az hareket ve yatay genel hareket vidaları vardır. Bazı nivolarda yatay hareket sürtünme esasına göre olduğundan yatay genel hareket vidaları yoktur. Üst yapı ise dürbün ve silindirsel (boru) düzeçten oluşur.
Basit bir dürbünün şematik kesiti şekil 2.1’de görülmektedir. 1 objektifine giren ışınlar, görüntü düzleminde miranın ters bir görüntüsünü verir. Görüntü 4 oküleri yardımıyla önemli ölçüde büyütülür. Aynı görüntü düzleminde bir cam plaka üzerine kazınmış gözlem çizgileri vardır (şekil 2.2). Dürbün oküleri, gözlem çizgileri net ve keskin görününceye kadar hareket ettirilir. Yatay ve düşey çizgilerin kesim noktası ile objektif merkezi dürbünün gözlem doğrultusunu oluşturur. Bazı nivolarda ters görüntüyü düz görüntü hâline getirmek için 2 ile 3 arasına bir prizma sistemi yerleştirilir.

Mira üzerinde yapılacak okuma ve tahmin etme inceliği, dürbünün büyütme gücüne bağlıdır. Nivelman miraları genellikle santimetre bölümlü olduklarından milimetre bölümlerinin tahmin edilmesi gerekir. Bir A dürbünü, B dürbününün iki katı büyütüyorsa A dürbünü ile milimetreler iki kat daha incelikli tahmin edilir. Bir dürbünün büyütmesi yaklaşık olarak objektif ve oküler odak uzaklıklarının oranına eşittir.

şekil 1.2: Nivolarda kullanılan gözlem çizgileri

Nivoların kaba yataylanmasında küresel düzeç, hassas yataylanmasında da silindirsel (boru) düzeç kullanılır. Bir nivonun inceliği, silindirsel düzecin duyarlığı ve dürbünün büyütme gücüne bağlıdır. Düzeç duyarlığı ise silindirsel düzecin eğrilik yarıçapına bağlıdır. Şekilde değişik eğrilik yarıçaplı iki düzeç görülmektedir. Her iki düzecin bir uçlarının yataydan α miktarı kadar kaldırılması durumunda A düzecinin kabarcığı, eğrilik yarıçapının B’den büyük olması nedeniyle B düzecinin kabarcığından daha fazla miktarda hareket eder. Bu şekilde kabarcığın ortadan ayrılması daha iyi saptanır.

Nivelmanda incelik, 1 kilometrelik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından hesaplanan standart sapma (karesel ortalama hata) ile ifade edilmektedir. Nivelmanda incelik aşağıdaki koşullara bağlıdır:
-> Alet ve sehpasına
-> Mira bölümlendirmelerinin doğruluğuna ve mira altlığına
-> Ölçme yöntemi ve ölçme sürecindeki sistematik hataların elimine edilmesine
-> Çevre koşullarına (atmosferik, aydınlık, yeraltı)

1.1.1. Nivoların Kurulması ve Düzeçlenmesi

Işınsal (kutupsal) nivelman işlemi dışında nivoların belirli bir nokta üzerine merkezlendirilerek kurulması zorunluluğu olmadığından nivolar kurulurken genellikle nokta üzerine merkezlendirme işlemi yapılmaz. Öncelikle nivoyu kullanan kişi (operatör), alet sehpasını boyuna göre açar ve sehpa tablası yaklaşık yatay olacak şekilde sehpayı kurar. Nivo kutusundan çıkartılır ve sehpanın üzerine yerleştirilerek alttan sehpaya vidalanır. Sehpa ayaklarına el ile (ayakla değil) bastırılarak sehpanın zemine iyice yerleşmesi sağlanır. Her iki yöndeki hareket alanını geniş tutabilmek için düzeç ayak vidalarının yaklaşık olarak ortada olmasına dikkat edilir (Düzeç ayak vidalarının bazıları çok aşağıda, bazıları da çok yukarıda olmamalıdır.). Küresel düzeç, sehpa ayaklarıyla yaklaşık olarak, düzeç ayak vidalarıyla da tam olarak ortalanır. Silindirsel düzeç, önce iki düzeç ayağına paralel hâle getirilir ve düzeç ayaklarının ikisi de içe veya dışa çevrilerek kabarcık ortalanır. Düzeç 90º döndürülerek kullanılmayan üçüncü ayak vidası ile kabarcık yine ortalanır. Kontrol amacıyla işlem tekrarlanır. Düzeçleme işlemi tamamlandıktan sonra, düzeç hatası yoksa alet ne tarafa çevrilirse çevrilsin kabarcık ortada kalır. Düzecin hatalı olup olmadığı düzeç kontrolüyle belirlenir.
Günümüzde genellikle nivelman ağlarında, hat nivelmanı, yüzey nivelmanı ve kesit nivelmanı gibi nivelman ölçümlerinde; deformasyon ölçümlerinde, endüstriyel ölçmelerde, kara ve demir yolu, kanalizasyon, içme suyu, tünel ve madencilik çalışmalarında elektronik (sayısal) nivolar kullanılmaktadır.

1.1.2. Nivelman Miraları


Mira, noktaların nivelman düzleminden olan uzaklığını ölçmek için kullanılan, fırınlanmış ahşaptan ya da metalden yapılmış cetvellerdir. Bazı ahşap miralarda, eğilmeyi önlemek için miranın arka tarafına veya yan taraflarına destek parçaları eklenir. Miranın alt uç kısmına çelikten yapılmış bir parça eklenir. Miranın bölümlemesi bu levhanın alt kısmından başlar. Nivelman miraları tek parçalı, katlanabilir ya da sürgülü olabilir. Uzaktan iyi seçilebilmeleri için 1 metrelik ara ile siyah-beyaz ve kırmızı-beyaz şeklinde bölümlendirilmiştir. Miralar, genellikle 4 m uzunluğunda ve cm bölümlüdür. 2 adet tutamağı olan miraların düşeyliğini sağlayabilmek için bir küresel düzeçle donatılmışlardır. Hassas nivelmanda kullanılan miralar ise 3 m boyunda tek parçalı olup 1 cm ya da yarım cm aralıklarla bölümlendirilmiştir.
Miraların, basit nivelman miraları, hassas nivelman miraları ve özel nivelman miraları olmak üzere üç çeşidi vardır.

Nivelman miralarının yardımcı araçları


Nivelman ölçüleri yapılırken miraların tutulabilmesi, düşeyliğinin sağlanması, sallanmamaları ve yüksekliklerinin değişmemesi için yardımcı araçlar kullanılır. Bunlar; mira düzeçleri, mira payandaları ve mira altlıklarıdır.

Bir sonraki yazımız Geometrik Nivelman ile devam edecektir.

Poligon Hesaplamaları

Bir Cevap Yazın

Açık, kapalı ve dayalı (bağlı) poligon hesapları nasıl yapılır ve kaba kenar hatalarının giderilmesini gibi temel bilgileri ele alacağız.

A. AÇIK POLİGON HESABI

Açık poligon geçkisi (güzergâhı), bir nirengi veya poligon noktasından başlayarak koordinatları belli olmayan başka bir noktada sona erer. Bu poligonların hesabını kontrollü yapmak mümkün değildir. Onun için bir zorunluluk olmadıkça kullanılmazlar. Eğer kullanılacaksa açı ve kenarlar kontrollü olarak ölçülmelidir.
Açık poligon hesabı için birinci temel ödevin her poligon noktasında bir defa tekrar edilmesidir diyebiliriz.

Geçki örneği,

Şekil 1.


A.1. Ölçülen Değerlerin Tabloya Yazılması
Koordinatları bilinen bir B noktasından itibaren üç noktalı bir açık poligon geçkisi (güzergâhı) düşünelim (Şekil 1). 1,2 ve 3 nu.lı poligon noktalarının koordinatlarının hesaplanabilmesi için a1 semt açısı ile S1 kenarının uzunluğunun bilinmesi gerekir.
Arazide poligonun β0 , β1, β2 kırılma açıları ile S1 , S2 , S3 uzunlukları ölçülür. Ölçülen bu değerler Tablo 1‟de görüldüğü gibi yazılır.
Örnek 1: Şekil 1‟e göre gerekli ölçüleri verilen açık poligon hesabının verilerinin
tabloya nasıl yerleştirildiğini görelim.

Verilenler:

(AB)= a0 =147g,7848 1    S = 162,45 m         Xb= 4356,64 m
β0= 135g,4556                  S2 = 154,50 m        Yb= 7503,53 m
β1= 185g,2550                   S3 = 135,23 m
β2= 233g,8985

Açık poligon hesabı tablosu (Tablo 1)


A.2. Semt Açılarının Hesabı
Poligon semt açısının hesabı için bir evvelki semt açısı ile poligon açısı toplanır. Elde edilen açı 200 graddan küçük ise buna 200 grad eklenir. 200 graddan büyük ise 200 grad çıkarılır. Bu işlemden sonra geri kalan açı 400 graddan büyük ise bundan tekrar 400 grad çıkarılır. Bu kurala göre semt açısı elde edilir. Verilenler ilgili yerlerine yerleştirilerek 4. sütundaki semt açıları üçüncü temel ödeve
göre bulunur.
135g,4556 + 147g,7848 = 283g,2404

200 graddan büyük olduğu için 200 grad çıkarılır ve 83g,2404 olarak bulunur. Diğer
semt açıları da tabloda olduğu gibi hesaplanır.

Örnek 1’in semt açılarının hesabı (Tablo 2)


A.3. Koordinat Farklarının Hesabı
6‟ncı sütuna 4‟üncü sütundaki semt açılarının sinüs değerleri yazılır ve 5‟inci
sütundaki kenarlar ile çarpılarak ΔY değeri bulunur. 7‟nci sütuna ise 4‟üncü sütundaki semt
açılarının kosinüs değerleri yazılır ve 5‟inci sütundaki kenarlar ile çarpılarak ΔX değeri
bulunur. ΔX ve ΔY değerlerinin işaretleri semtlerin bulundukları trigonometrik daire
bölgelerine göre tayin edilir (Tablo 3).

ΔX=162,45*cos83,2404    ΔY=162,45*sin83,2404
ΔX=+42,27 m                      ΔY=+156,85 m

Diğer ΔX ve ΔY değerleri de yukarıda anlatıldığı gibi hesaplanır.

                                        Örnek 1‘in ΔX ve ΔY değerlerinin hesabı (Tablo 3)


A.4. Koordinatların Hesabı
Bulunan ΔX ve ΔY değerleri 8 ve 9‟uncu sütunlardaki Y ve X değerlerine,
işaretlerine göre eklenip veya çıkarılarak yeni noktaların koordinatları bulunur.

                                             Örnek 1’in Y ve X değerlerinin hesabı (Tablo 4)


B. DAYALI (BAĞLI) POLİGON HESABI

Dayalı (bağlı) poligon geçkisi, koordinatları bilinen bir nirengi veya poligon noktasından başlayıp yine koordinatları bilinen bir nirengi veya poligon noktasında sona erer. Bağlı poligon hesabında hesabın kontrolü yapılabilir. Bu şekildeki geçkide açı ve kenar ölçümündeki kaba hatalar ortaya çıkacağından hata sınırı içinde kalan hataların ölçülere dağıtılmaları mümkündür.
Bağlı poligon hesabı aynen yukarıda gördüğümüz açık poligon hesabında olduğu gibi yapılır. Ancak hesaplanan son noktanın başka noktaya olan semti ile koordinatları belli olduğundan hesapların kontrolü yapılabilir.

Geçki örneği,

Şekil A


B.1. Ölçülen Değerlerin Tabloya Yazılması
Koordinatları bilinen A, B, C ve D noktaları, a0 =(AB) baştaki semt açısı ile an semt açıları verilen iki noktalı bir bağlı (dayalı) poligon güzergâhı düĢünelim (Şekil A). 1 ve 2 numaralı poligon noktalarının koordinatlarının hesaplanabilmesi için (AB)= a0 semt açısı, an semt açıları ile S1 , S2 , S3 ve poligon kırılma açılarının bilinmesi gerekir. Arazide poligonun β0, β1, β2 kırılma açıları ile S1 , S2 , S3 uzunlukları ölçülür. Verilen ve ölçülen bu değerler Tablo A“da olduğu gibi yazılır.
Örnek A: Şekil A‟daki dayalı (bağlı) poligon geçkisine göre verilen ölçülerin hesap tablosuna yazılışını gösteriniz.

(AB)= a0 =123g,4513              (CD)= an =56g,1970         S1 = 82,00m          b Y 58236,78m
β0= 194g,0850                                                                         S2 = 47,50m         b X 40083,43m
β1 = 196g,6450                                                                         S3= 62,20m          c Y 58399,68m
β2= 244g,3595                                                                                                          c X 40001,03m
β3= 97g,6506

Bağlı dayalı poligon hesap tablosu (Tablo A)


B.2. Semt Açılarının Hesabı
Şekil A‘da (an) , poligonun bağlandığı C noktasından D noktasına olan (CD) semti olup bu değer ya verilmiştir veya C ve D noktalarının koordinatları yardımıyla ikinci temel ödeve göre hesaplanır. Bağlı poligon hesabındaki semtler;

a1= a0+β0±200g , a2= a1+β1±200g , a3= a2+β2±200g , a4= a3+β3±200g … şeklinde hesaplanır.

Yukarıdaki eşitlikleri taraf tarafa toplarsak eşitliğin her iki tarafında bulunan a1 ,a2 , a3 ve a4 semt açıları birbirlerini götürür. ‘β’ kırılma açılarının toplamını da [β] şeklinde gösterecek olursak;

fβ=a0+[β]±n*200g bu formülde a0 semt açısını eşitliğin sol tarafına alarak, fβ-a0=[β]±n*200g formülünü bulmuş oluruz.

n= kırılma açılarının sayısı f= kırılma açılarında yapılan hata miktarı  a0= baştaki semt açısı an= sondaki semt açısı

Kural
Bağlı poligon hesabında başlangıç semti ile bütün poligon açıları toplanır ve bulunan toplamdan gereği kadar 200 grad çıkarılırsa son semt açısı bulunur veya son semt açısı ile başlangıç semt açısının farkı, bütün poligon açılarının toplamından gereği kadar 200 grad ve katları çıkarıldıktan sonra kalan miktara eşit olur.

Aşağıda verilen Tablo B’de, Örnek A‘da verilenlere göre semt açılarının bulunuşu yapılmıştır.

İlk önce [β] bulunur. [β] =856g,1914 olur.

fβ=a0+[β]±n*200g => fβ=123 ,4513g + 732 ,7401g 4*200g => an-a0=56 ,1914g olur.

Açı ölçümünde hata miktarı fβ= 56 ,1970g – 56 ,1914g = 0 ,0056g yani 56 saniyedir. 56/4 = +14 saniye olarak her bir kırılma açısına hata dağıtılır. Dağıtıldıktan sonra düzeltilmiş poligon kırılma açıları ile ilk semt açısı toplanır ve gerekli çıkartma yapılarak gereken semt açısı bulunur. Bu işlem sonuna kadar tekrarlanır. Elde edilen son semt değeri, an semti ile aynı değerde olmalıdır.

Poligon Kırılma Açıları                              Düzeltilmiş Poligon Kırılma Açıları
β0= 194g,0850                                                    β0= 194g,0864
β1= 196g,6450                                                     β1= 196g,6464
β2= 244g,3595                                                    β2= 244g,3609
β3= 97g,6506                                                      β3= 97g,6520

Ölçümlerde yapılan hata miktarı yönetmeliğin verdiği hata miktarından küçük olmadır. Yani fβ < Fβ olmalıdır.

Fβ=1c+(150/[β])*(n-1)*√n  -> c: Grad dakikası

[S]= Kenarların toplamı    [S]= 191,70 m

Fβ=1c+(150/[191,70 m])*(4-1)*√4   ->  Fβ= 1c+4 c,69  ->  Fβ= 5 69c= 569cc -> cc: Grad saniyesi

fβ < Fβ olur. O zaman ölçülen değerler hata sınırı içindedir. Kabul edilebilir.

Örnek A’nın semt açılarının hesabı (Tablo B)


B.3. Semt Açılarının Hesap Kontrolü
Hatalar dağıtıldıktan sonra ilk semt açısı ile (123g,4513) ilk düzeltilmiş poligon kırılma açısı (194g,0864) toplanarak 3. temel ödeve göre ikinci semt açısı (a1) hesaplanır. Diğer semt açıları da aynı yöntemle hesaplanır. Hesaplanan semt açıları son semt açısına eşit olmalıdır.

a1= a0+β0±200g -> a1= 123g 4513+194g,0864-200g -> a1= 117g,5377

a2= a1+β1±200g-> a2= 117g,5377+196g,6464-200g -> a2= 114g,1410

a3= a2+β2±200g-> a3= 114g,1410+244g,3609-200g -> a3= 158g,5450

an= a3+β3±200g-> an= 158g,5450+97g,6520-200g -> an= 56g,1970 olur.


B.4. Koordinat Farklarının Hesabı
6 numaralı sütuna 4 numaralı sütundaki semt açılarının sinüs değerleri yazılır ve 5 numaralı sütundaki kenar değerleri ile çarpılarak ΔY değeri bulunur. 7 numaralı sütuna ise 4 numaralı sütundaki semt açılarının kosinüs değerleri yazılır ve 5 numaralı sütundaki kenarlar ile çarpılarak ΔX değeri bulunur. ΔX ve ΔY değerlerinin işaretleri semt açılarının bulundukları trigonometrik daire bölgelerine göre tayin edilir (Tablo C).

ΔX1=82,00m*cos117g,5377    ΔY1=82,00m*sin117g,5377
ΔX1=-22,30 m                           ΔY1=+78,91 m

Diğer ΔX ve ΔY değerleri de yukarıdaki gibi hesaplanır ve tabloda yerlerine yazılır.

Örnek A’nın koordinat farklarının hesabı (Tablo C)


Kural
Bağlı poligon hesabında hesap edilen koordinat farklarının toplamı son noktanın koordinatlarından ilk noktanın koordinatlarının çıkarılması ile elde edilen farka eşittir. ΔX ve ΔY değerleri alt alta, ayrı ayrı toplanır.

[ΔY] =+162.94m  [ΔX]= -82,43m Sonra koordinatları bilinen X ve Y değerlerinin farkları alınır.

FY=Yc-Yb= 58399,68m-58236,78m -> FY=+162,90m

FX=Xc-Xb= 40001,03m-40083,43m -> FX=-82,40m


B.5. Hata Hesabı ve Dağıtımı
Gerek açı ölçülerinde gerekse kenar ölçülerindeki düzensiz hatalar nedeniyle uygulamada bu teorik durum gerçekleşmez. Bunun sonunda;

Örnek A’in koordinat farkları hatalarının hesaba göre dağıtılması (Tablo 4.2)


B.6. Koordinatlarının Hesabı
Kenarlara hatalar dağıtıldıktan sonra sıra kesin koordinatları hesaplamaya gelmiştir.

Y1= YB+ ΔY1 -> Y1=58236,78m+78,90m -> Y1=58315,68m

Y2= Y1+ ΔY2 -> Y2=58315,68m+46,32m -> Y2=58362,00m

Yc= Y2+ ΔY -> Yc=58362,00m+37,68m -> Yc=58399,68m

X1= XB+ ΔX1 -> X1=40083,43m-22,29m -> X1=40061,14m

X2= X1+ ΔX2 -> X2=40061,14m-10,65m -> X2=40050,49m

Xc= X2+ ΔX -> Xc=40050,49m-49,46m -> Xc=40001,03m

Örnek A’da istenen koordinatlarının hesabı (Tablo E)


C.KAPALI POLİGON HESABI
Kapalı poligon geçkilerindeki poligon hesabı, bağlı poligon geçkilerinde yapılan poligon hesapları gibi yapılır. Ancak kapalı poligon geçkisi başladığı noktada son bulduğu için kontrol formülleri küçük bir değişiklik gösterir.

Şekil 1

a1-a0= [β0]±n*200g semt kontrol formüllerinde kapalı poligonun başlangıç ve son semti aynı olacağından an-a0’dır.
Buna göre; 0= [β0]±n*200g olur.


C.1. Ölçülen Değerlerin Tabloya Yazılması
Koordinatları bilinen A veya 1, a0 baştaki semt veya a1 semtleri verilen bir kapalı poligon geçkisi düşünelim (Şekil 1) 2, 3, 4, 5 ve 6 nu.lı poligon noktalarının koordinatlarının hesaplanabilmesi için(1–2)=a1 semt açısı ile S1,S2,S3,S4,S5,S6 ve poligon kırılma açılarının bilinmesi gerekir. Arazide poligonun β1,β2,β3,β4,β5,β6 kırılma açıları ile S1,S2,S3,S4,S5,S6 uzunlukları ölçülür. Verilen ve ölçülen bu değerler Tablo 1’de olduğu gibi yazılır.

Örnek 1: Şekil 1‟deki kapalı poligon geçkisine göre verilen gerekli ölçülerin tabloda yazılışını görelim.

Verilenler: (1–2)=a1=339g,7910

β1= 315g,6550                                                    S1= 38,08 m                      Y1= 935,19 m
β2= 205g,3590                                                  S2= 59,49 m                      X1= 158,34 m
β3= 289g,9210                                                   S3= 57,43 m
β4= 305g,0560                                                  S4= 47,10 m
β5= 180g,1850                                                   S5= 37,91 m
β6= 303g,8040                                                  S6= 75,73 m

İstenenler: 3, 4, 5, 6 ve 1 numaralı noktaların koordinatlarını (Y ve X değerlerini)
hesaplayalım. İlk önce verilenler dikkatli olarak hesap tablosuna yerleştirilir. Daha sonra açı kontrolü yapılır. Açı kontrolü poligon açıları toplanarak yapılır.

Bu toplamın iç açılar toplanıyor ise [βiç]=(n-2)*200g , dış açılar toplanıyor ise [βdış]=(n+2)*200g formüllerin verdiği miktarda olması gerekir.

Kapalı poligon hesap tablosuna verilenlerin yazılması (Tablo 1)


C.2. Semt Açılarının Hesabı
Kapalı poligon bir çokgen olduğu için açı kontrolü, iç veya dış açıların toplamı şeklinde de yapılabilir. Bir kapalı poligon, o poligonu teşkil eden noktaların iki eksiği kadar üçgene ayrılacağı için iç açıların toplamı poligonu teşkil eden nokta adedinin iki eksiğinin 200g ile çarpımına eşittir.

[βiç]=(n-2)*200g dış açılar toplanıyor ise [βdış]=(n+2)*200g formüller ile bulunur. Bu formüllerde “n” poligon geçkisini teşkil eden nokta sayısıdır. Poligon kırılma açılarında yapılan düzensiz hatalar yönetmeliğin verdiği izin kadar olmalıdır. Buna göre yönetmelikte yapabileceğimiz maksimum hata miktarı aşağıda verilen
formülle hesaplanır. Fβ=1c+(150/[β])*(n-1)*√n 

Yapılan hata, bu formülde bulunan değerden küçük olmalıdır. Yani FB<FBmax olmalıdır.

Örnek 1’in semt açılarının hesabı (Tablo 2)


C.3. Semt Açılarının Hesap Kontrolü
Hatalar dağıtıldıktan sonra ilk semt açısı ile (339g,7910) ilk düzeltilmiş poligon kırılma açısı (315g,6666) toplanarak 3. temel ödeve göre ikinci semt açısı ( a1 ) hesaplanır. Diğer semt açıları da aynı yöntemle hesaplanır. Kapalı poligon hesabında hesaplanan semt açıları ilk semte eşit olmalıdır.


C.4. Koordinat Farklarının Hesabı
6 numaralı sütuna 4 numaralı sütundaki semt açılarının sinüs değerleri yazılır ve 5 numaralı sütundaki kenarlar ile çarpılarak ΔY değeri bulunur. 7 numaralı sütuna ise 4 numaralı sütundaki semt açılarının kosinüs değerleri yazılır ve 5 numaralı sütundaki kenarlar ile çarpılarak ΔX değeri bulunur. ΔX ve ΔY değerlerinin işaretleri semtlerin bulundukları trigonometrik daire bölgelerine göre tayin edilir (Tablo 3).

ΔX1=38,08m*cos55g,4576    ΔY1=38,08m*sin55g,4576
ΔX1=+24,52 m                          ΔY1=+29,13 m

Diğer ΔX ve ΔY değerleri de yukarıdaki gibi hesaplanır ve tabloda yerlerine yazılır.

Örnek 1’de ki koordinat farklarının hesabı (Tablo 3)


C.5. Hesap Kontrolü
Poligon geçkisinin başlangıç ve bitim noktalarının koordinatları aynı olduğu için ΔY ve ΔX’lerin toplamlarının sıfıra eşit olması gerekir. [ΔY]=0 , [ΔX]=0

Örnek 1’in koordinat farkları hatalarının hesaba göre dağıtılması (Tablo 4)

Örnek 1’in istenen koordinatlarının hesabı (Tablo 5)


D. KABA AÇI HATASI
Bir poligon geçkisinde kaba açı hatasının olup olmadığı açıklık açısı (semt açısı) kontrolü ile anlaşılır. Başlangıç açıklık açısına kırılma açıları eklenir ve ( n*200g ) çıkarıldığında son açıklık açısı bulunmazsa yani büyük bir fark varsa kaba açı hatası var demektir.

4.1. Başlangıçtan Bitiş Yönüne Doğru Poligon Hesabı

Şekil 1: Poligon geçkisinde kaba açı hatasının bulunması

Şekil 1‘de görüldüğü gibi 3 numaralı poligon noktasında β3 açısının ölçümünde Δβ kadar kaba hata yapılmış ise ve hesaba B poligon noktasından başlanırsa βb, β1, β2 açıları ile S1,S2,S3 kenarları hatasız olacağından 1, 2, 3 poligon noktalarının koordinatları hatasız elde edilecektir. Diğer taraftan β3 hatalı olduğundan (34), (45) ve (5C) açıklık
açıları hatalı olacak, dolayısıyla 4 numaralı poligon noktası 4′ , 5 numaralı poligon noktası 5′ , ve C nirengi noktası da C’ olarak kayacaktır. Hatalı açının bulunduğu noktayı hesap yoluyla bulmak için hatalı değerlerle açı hata dağıtımı yapmadan poligon geçkisi bir kere B poligon noktasından başlayarak çözülür.
Aşağıdaki çözüm ise sadece tablo üzerinde yapılmıştır (Tablo 1).

Başlangıçtan bitiş yönüne doğru poligon hesabı (Tablo 1)


D.2. Bitişten Başlangıç Yönüne Doğru Poligon Hesabı
Hesaba C poligon noktasından başlanırsa βc, β5, β4 açıları ile S6,S5,S4 kenarları hatasız olduklarından 5, 4 ve 3 poligon noktalarının koordinatları hatasız elde edilecektir. Diğer taraftan β3 kırılma açısı hatalı olduğundan 2 numaralı poligon noktası 2′ 1 numaralı poligon noktası 1′ ve B nirengi noktası da B’ olarak kayacaktır.
Hatalı açının bulunduğu noktayı hesap yoluyla bulmak için hatalı değerlerle açı hata dağıtımı yapmadan poligon geçkisi bir kere C poligon noktasından başlayarak çözülür.
Aşağıdaki çözüm ise sadece tablo üzerinde yapılmıştır (Tablo 2).

Bitişten başlangıç yönüne doğru poligon hesabı (Tablo 2)


D.3. Açı Ölçüm Hatası Olan Noktanın Bulunması
Hem B poligon noktasından başlanarak hem de C poligon noktasından başlanarak
yapılan hesap sonucu koordinatların her ikisinde de yaklaşık olarak eşit olan noktadaki açıda
kaba açı hatası var diyoruz. Bu nedenle Tablo 1′de ve Tablo 2′de yapılan hesap sonucu 2. poligon noktasının
koordinatları yaklaşık olarak aynı çıktığına göre β2 açısı yanlış ölçülmüştür. Yani;

Hata: 394g,4620-294g,4220=100g,0400’dır.

Harita Temel Ödevler

Bir Cevap Yazın

Arazideki noktaların konumlarını daha kolay tespit edebileceksiniz. Noktalar arasındaki uzaklıkları, noktalar arası koordinatların durumlarını, oluşturdukları
doğrultuları, bu doğrultular arasındaki açıları ve doğruların kuzeyle yaptıkları semt açılarını
hesap yöntemiyle bulup çalışmalarınıza uygulayabileceksiniz.

1.BİRİNCİ TEMEL ÖDEV
Bir A noktasının koordinatları ile diğer bir nokta olan B noktası arasındaki uzunluk ve A noktasındaki semt açısı bilinirse B noktasının koordinatları hesaplanabilir. Bu hesaplamalara birinci temel ödev denir.

1.1. Birinci Temel Ödevin Şekli ve Verileri
A noktasının koordinatları ile bu noktadan B noktasına olan (AB) semt açısı ve |AB| (AB üzerinde üst çizgi yapamadım bu nedenle uzunluk şeklini “| |” şeklinde belirteceğim.) kenarı veriliyor. B noktasının koordinatları isteniyor.

Verilenler: Ya, Xa, (AB) ve |AB|     ->     İstenenler: Yb, Xb

Şekil 1.1’den kolayca görüleceği gibi,

Yb=Ya+ΔY  ve  Xb=Xa+ΔX

Burada Ya ve Xa verilmiş. ΔY ve ΔX bulunabilirse Yb ve Xb hesaplanabilir. Yine şekilden ve yukarıdaki eşitlikten görüleceği gibi, ΔY= Yb-Ya ve ΔX=Xb-Xa

ΔY ve ΔX’in işaretleri (AB) semt açısına bağlı olup artı ve eksi olabilir.

Yb=Ya+|AB|*sin(AB) ve Xb=Xa+|AB|*cos(AB) eşitlerinden elde edilen ΔY ve ΔX’lerin kontrolleri aşağıdaki bağıntılardan biriyle yapılabilir.

ΔX+ΔY= √2*|AB|*sin[(AB)+50g]

ΔX-ΔY= √2*|AB|*cos[(AB)+50g]

ΔY ve ΔX’i hesaplayabilmek için A ve B noktalarından Y ve X eksenlerine paraleller çizelim. Meydana gelen AKB üçgeni bir dik üçgendir (Şekil 1.2). Bu üçgenin A noktasındaki açısı (AB) semt açısına eşittir. Trigonometriden bildiğimize göre;

Şekil 1.1: Birinci temel ödev

Şekil 1.2: Birinci temel ödev

 

Sin(AB)=ΔY/|AB|=Yb-Ya/|AB|   ->   Cos(AB)=ΔX/|AB|=Xb-Xa/|AB| buradan,

Yb-Ya=|AB|*sin(AB)    ->    Xb-Xa=|AB|*cos(AB) şeklinde formüller bulunur. Yb ve Xb yalnız bırakırsak;

Yb=Ya+|AB|*sin(AB)    ->    Xb=Xa+|AB|*cos(AB) formülleri elde edilmiş olur.

1.2. İstenenler
A ve B gibi iki noktanın birisinin koordinatları verilip iki nokta arasındaki uzaklık ve semt açısı verildiğinde diğer noktanın koordinatları bulunur. Yani A noktasının koordinat değerleri verildiğinde, B noktasının koordinat değerleri istenir (Xb=? , Yb=? gibi). Ancak B noktasının koordinat değerleri verilip, A noktasının koordinat değerleri de
istenebilir (Xa=? , Ya=? gibi).

Koordinat Farkı Hesaplama

İki noktanın koordinat arasındaki farkı hesaplamak için;

ΔY=Yb-Ya veya ΔX=Xb-Xa formülleri kullanılır.

2. İKİNCİ TEMEL ÖDEV
Dik koordinatları bilinen iki nokta arasındaki kenar uzunluğu ile bu kenarların kuzey ile yaptığı açının bulunması problemi ikinci temel ödev olarak bilinir.

2.1. İkinci Temel Ödevin Şekli ve Verileri
Bir AB doğrusunun A ve B noktalarının koordinatları (Yb,Xb,Ya,Xa) veriliyor. A ve B noktalarını birleştiren doğrunun (AB) semt açısı ile AB kenar uzunluğunun hesabı isteniyor. Şekil 2.1’deki geometrik bağıntılardan,

tan(AB)=ΔY/ΔX -> (Yb-Ya)/(Xb-Xa) formülünden (AB) semt açısı hesaplanır.

Sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonlarından;

Sin(AB)=(Yb-Ya)/|AB|  ve  Cos(AB)=(Xb-Xa)/|AB|       (2.1)

Buradan |AB| uzunluğu,

|AB|=(Yb-Ya)/Sin(AB)  ve  |AB|=(Xb-Xa)/Cos(AB)      (2.2)

A ve B noktalarından Y ve X eksenlerine birer dik çizecek olursak meydana gelen AKB dik üçgeninde KB dik kenarının AK dik kenarına oranı (AB) semtinin tanjantını verir.

tan(AB)=ΔY/ΔX -> (Yb-Ya)/(Xb-Xa)                                (2.3)

Formülden görüldüğü gibi B noktasının koordinatlarından A noktasının koordinatları çıkarılarak bulunan 
ΔY=Yb-Ya veya ΔX=Xb-Xa farkına bölünerek (AB) semt açısının tanjant değeri bulunur. Semt açısının hangi bölümde olduğunu anlamak için ΔY ve ΔX’lerin işaretlerine bakmak yeterlidir. (Tablo 2.1)

Tablo 2.1: Y, ΔY, sinα, X, ΔX ve cosα’nın bölgelere göre işaretleri

(2.3) eşitliğine göre (AB) semti ΔY ve ΔX’lerin işaretlerine bağlı olarak dört bölgede olabilir. Eğer ΔY / ΔX ‘in işaretleri,

Tablo 2.2: İkinci temel problemde açıların bölgelerde gösterilişi

 

Şekil 2.1: İkinci temel ödev

 

Semt açısı bulunduktan sonra bu açı ve ΔY=Yb-Ya veya ΔX=Xb-Xa farkları yardımı ile AB kenarı hesaplanır. Kenarın hesabında birinci temel ödevde gördüğümüz,

Yb-Ya=|AB|*sin(AB)    ->    Xb-Xa=|AB|*cos(AB) formüllerinden yararlanılır. Bu formüllerden sin(AB) ve cos(AB) diğer tarafına alınarak AB kenarının hesap formülleri bulunur.

|AB|=(Yb-Ya)/Sin(AB)=(Xb-Xa)/Cos(AB)          (2.4)

Görüldüğü gibi AB kenarı bir kere ordinat farkının sin(AB)’ye bölünmesinden, bir kerede apsisler farkının cos(AB)’ye bölünmesinden elde edilir. Fakat hesaplanırken güvenirliği artırmak için, apsis ve ordinat farkının hangisi büyükse onunla işlem yapılır. (AB) semt açısı 50g dan küçük olduğu zaman ΔX’ler ΔY’lerden büyük büyük, semt açısı 50g ile 100g arasında bulunduğu zaman ise ΔY’ler ΔX’lerden büyüktür. Buna göre açı 50g dan küçük ise kosinüsü alınarak ΔX buna bölünür. Açı 50g ile 100g arasında ise sinüsü alınır ve ΔY buna bölünerek AB kenarı bulunur. 100g dan büyük açılarda 100g dan çıkarılıp geriye kalan dar açı ile hesap yapılacağı için yine yukarıda anlatıldığı gibi işlem yapılır. (AB)=α açısının kontrolü ise (α+50g) ‘ın bulunmasıyla sağlanır.

tan(α+50g)=(ΔX+ΔY) / (ΔX-ΔY)             (2.4)   eşitliği kenar için aynı zamanda bir kontrol sağlamakla birlikte

|AB|=ΔY*sin(AB)+ΔX*cos(AB)=+√ΔY²+Δx² formülü de kontrol için kullanılır.

2.2. İstenenler
A ve B gibi iki noktanın koordinatları verildiğinde, semt açısı ve iki nokta arasındaki uzunluk bulunur. Yani A ve B noktasının koordinat değerleri verildiğinde, semt açısı ve iki nokta arasındaki uzunluk istenir ( (AB), |AB| gibi).

3. ÜÇÜNCÜ TEMEL ÖDEV
(AB) semti ve β kırılma açısı bilindiğine göre (BC) semtinin bulunması problemi “üçüncü temel ödev” olarak isimlendirilir.

3.1. Üçüncü Temel Ödevin Şekli ve Verileri
Bir AB doğrusunun semt açısı ve bu doğru ile diğer bir BC doğrusu arasındaki β açısı veriliyor. BC doğrusunun semt açısı isteniyor.

Şekil 3.1: Üçüncü temel ödev

 

Şekil 3.2: Üçüncü temel ödev

Şekil 3.1’den anlaşılacağı gibi (BC)=(BA)+β’dır. Ancak Şekil 3.2’deki (BA) semti ile β açısının toplamı 400 graddan büyük olmaktadır. Bir açıya 400 grad ilave veya çıkarıldığında o açının değeri değişmeyeceğinden 400 graddan büyük çıkan açılardan 400 grad çıkarılarak (BC) semt açısı bulunur. (BA) semt açısı yerine (AB) semt açısı verilmiş ise (BA)= (AB) ± 200g olduğu için, yukarıdaki formülde (BA)’nın yerine yerine konulacak olursa (BC)= (AB)+ β ± 200g bulunur.

3.2. Kırılma Açısı
Şekil 3.1 veya şekil 3.2’de olduğu gibi, AB ve BC kenarlar arasında kalan açıya (β) kırılma açısı denir.

Şekil 3.3: Beta Kırılma açıları

 

3.2.1. Kırılma Açısının Yardımıyla Semt Açısı Değerinin Hesaplanması

Şekil 3.1 ve Şekil 3.2’ye göre (BC) semti, (BC)=(AB)+ β ± 200g Semt hesaplanırken şu kurallara uyulur.

Tablo 3.1: 200 Gradın ne zaman toplanıp, ne zaman çıkarılacağının gösterilişi

 

Yani (AB) semt açısı ile β kırılma açısı toplamı 0 ile 200 grad arasında ise 200 grad eklenir. 200 grad ile 600 grad arasında ise 200 grad çıkarılır. 600 grad ile 800 grad arasında ise 600 grad çıkarılır.
Bu durumları şekiller üzerinde görmek mümkündür.

Şekil 3.4 : (BC)=(AB)+ β + 200g

 

Şekil 3.5 : (BC)=(AB)+ β – 200g

 

Şekil 3.6: (BC)=(AB)+ β – 200g

 

Şekil 3.7: (BC)=(AB)+ β – 600g


4. DÖRDÜNCÜ TEMEL ÖDEV
A, B, C noktaları koordinatları ile verildiğine göre bu noktaları birleştiren doğrular arasındaki açının bulunması problemi “dördüncü temel ödev” dir. Bu temel ödev ikinci temel ödevin bir uygulamasıdır.

4.1. Dördüncü Temel Ödevin Şekli ve Verileri
A, B, P üç noktanın koordinatları veriliyor. Bu noktaları birleştiren doğrular arasındaki β açısı isteniyor.

Şekil 4.1: Dördüncü temel ödev

 

Şekil 4.2: Dördüncü temel ödev

Yukarıdaki Şekil 4.1’de görüldüğü gibi (BP)-(BA)=β’dır. Şekil 4.2’de (BP)<(BA) olduğu için (BP) = 400g + (BP) olarak düşünülmelidir. O zaman yine 400g + (BP) = β olur. A, B, P noktalarının koordinatları verildiğine göre (BP) ve (BA) semtleri ikinci temel ödeve göre hesaplanabilir. Hesaplanan semtlerin β elde edilir.

4.2. İstenenler
Şekil 4.1 ve Şekil 4.2’de görüldüğü gibi A, B ve P noktalarının koordinat değerleri
veriliyor. Bu değerler doğrultusunda semt açıları bulunur. Buna göre iki doğru narasındaki β kırılma açısı istenir.

Temel ödevler öğrendik daha pratik olmak için örnekler çözmenizi tavsiye ederim.

Harita Alan Hesaplamaları

Bir Cevap Yazın

Arazi parçalarının, ada ve parsellerin alanlarını bulma becerisini kazanmak için iki alan hesaplama yöntemini ele alacağım. Bunlardan biri Ölçü değerlerine göre (Thomson) diğeri ise Koordinatlarına göre alan (Gauss) hesaplamalarıdır.

A. ÖLÇÜ DEĞERLERİNE GÖRE ALAN HESABI (THOMSON YÖNTEMİ)

Araziden elde edilen ölçülerin alım şekline ve istenen duyarlılık derecesine göre düzgün geometrik şekillere bölünebilen arazilerin ve parsellerin ölçü değerlerine göre alan hesapları birkaç ayrı yolla yapılabilir.

A.1. Bağlama Yöntemi

Bu yöntemle alanı hesaplanacak parsellerin alımı sırasında parseller, alanları kolayca bulunabilecek düzgün geometrik şekillere ayrılır. Alanları bulunacak geometrik şekiller ise genellikle üçgen, dikdörtgen, kare, yamuk ve paralel kenar olabilir. Bu şekillerin alan formüllerinden yararlanabiliriz.

Örnek:
Parsel üçgenlere ayrılmış ve oluşan üçgenlerin kenarları ölçülmüş ise üç kenarı belli olan üçgenin alanı:

U=(a+b+c)/2 ise F=√u(u-a)(u-b)(u-c) formülü ile hesaplanabilir.

Diğer bir örnek,

Şekildeki parselin alımı “bağlama yöntemi” ile yapılarak ölçü değerleri elde
edilmiştir. Bu parselin alanını hesaplayınız.
a = 25,40 m d = 27,82 m
b = 36,55 m e = 21,25 m
c = 16,80 m

A.1. Dik Koordinat Yöntemi

Bu yönteme göre alım yapılırken ya parselin bir kenarı ölçü doğrusu olarak kabul edilir veya parselin herhangi bir yerinden ölçü doğrusu geçirilir (Bu poligon kenarı da olabilir.). Dik ayak –dik boyları ölçülür.

Başlangıç ve parsel geçiş noktaları ölçü doğrusu üzerindeyken veya değilken oluş şekilleri vardır.
Çokgen şeklindeki parselin ölçü doğrusu (d), çokgenin bir kenarı (AE) ise veya çokgenin köşe noktalarından geçiyorsa bu ölçü doğrusuna dayalı olarak bu yöntem ile çokgenin dik ayak (a, b, c, d) ve dik boyları (h1, h2, h3) ölçülür. Bu çokgenin alanı; ölçü doğrusuna düşülen her dik boyunun, her birine komşu olan iki tabanın toplamıyla çarpılması ve çarpımlar toplamının yarısına eşittir.
Buna göre: 2F = h1 ( a + b ) + h2 ( b + c ) + h3 ( c + d ) +… eşitliği yazılır. Buna Thomson alan bağıntısı adı verilir.

Bu çokgenin alanı bu yöntemle hesaplanabileceği gibi çokgenin köşe noktalarından inilen diklerle (h1, h2, h3) çokgen; dik üçgen ve yamuk gibi geometrik şekillere bölünmüş
olacağından bu şekillerin alanlarının toplanması ile de çokgenin alanı hesaplanır.

 

A.1. Alan Hesaplarında Hata Sınırı

Alan hesaplamaları, ölçüm ve çizim çalışmalarının sonucunda gerekli kontroller yapıldıktan, paftalar kesinleştikten sonra yapılır. Parsellerin alanları köşe ve kırık noktalarının koordinatlarından desimetrekareye kadar hesaplanır. Kontrol amacıyla ada yüzölçümü grafik yöntemle hesaplanarak parsel alanları toplamı ile karşılaştırılır. Bu iki hesaplama arasındaki fark, yerleşik alanlarda;

f = 0.013√MF+0.0003 F

formülünün verdiği miktardan büyük olamaz (yerleŞik alanlarda yanılma – hatasınırı). Burada;
M: Pafta ölçeğinin paydasıdır.
F: Metrekare cinsinden ada alanıdır.
Farkın, formülün verdiği değerden büyük çıkması durumunda, hem çizim hem de
hesaplamalar kontrol edilerek hatalar giderilir.

Farkın, formülün verdiği değerden küçük çıkması durumunda koordinatlarla yapılan hesap, hatasız kabul edilir.
Yapılaşmamış alanlarda idarenin izni ile parsellerin alanları planimetrelerle (alan ölçer) veya diğer grafik yöntemlerden biri ile hesaplanabilir. Parsellerin ayrı ayrı alanları ile parsellerin oluşturduğu ada alanı hesaplanır, ada alanı ile parsellerin alanları toplamı arasındaki alan farkı, aşağıdaki formülün verdiği miktardan fazla olamaz.

f = 0.0004M√F+0.0003 F (yapılaşmamış-yerleşim dışı – alanlarda hata sınırı)

B. KOORDİNATLARINA GÖRE ALAN HESABI ( GAUSS YÖNTEMİ )

Koordinatlarına göre alan hesabı, yamuklarla alan hesabı ve üçgenlere göre alan hesabı olmak üzere iki kısımda incelenmektedir.

B.1. Yamuklarla Alan Hesabı

Şekil 1’deki parselin, ölçü doğrusu olarak kullanılan AD kenarını dik koordinat sisteminin y ekseni A noktasını orijin (merkez) olarak kabul edecek olursak dik boyları x, dik ayakları y, parsel köşelerinin koordinatları olur (şekil 2)

Buna göre alanı üçgen ve yamuklara ayırarak hesaplamak için yapılacak işlemi formül olarak şöyle yazabiliriz:
2F = x2(y2-y1)+(y3-y2)(x3+x2)+(y4-y3) x3

Şekil 1: Parselin A noktası orijin AD kenarının dik koordinat sistemi olarak kabul edilmesi

 

Şekil 2: Her üçgeni paralel kenarlardan birinin uzunluğu sıfır olan bir yamuk olarak kabul edeceğimize göre yukarıdaki formül yerine:
2F = ( y2- y1 ) ( x2+x1 )+ ( y3-y2 ) (x3+x2)+ ( y4-y3 ) ( x4+x3 ) yazılır.

Bu formül incelendiğinde her terim birbirini izleyen köşe noktalarının koordinat farkları ile apsisleri toplamlarının çarpımıdır. Bütün terimler toplamları ise alanın iki katını vermektedir. ġu hâlde formülü daha genel olarak 2F = Σ ( yn+1 – yn )(xn+1+xn) şeklinde yazmak mümkündür. Formüldeki Σ işareti bütün terimlerin toplam işaretidir, n harfi herhangi bir noktayı ifade eder. n+1 ise saat ibresinin hareketi yönünde n’den sonra gelen noktadır. Örneğin, Şekil 2’de görüldüğü gibi bir numaralı nokta n olarak kabul edilirse n+1 iki numaralı nokta olur. Fakat n dört numaralı nokta alınacak olursa n+1 saat ibresi hareketi yönünde n’den sonra gelen nokta yani bir numaralı noktadır.

Dik koordinat sistemi ekseni olarak alınan ölçü doğrusu, parselin bir köşegeni olmayıp Şekil 3’te görüldüğü gibi herhangi bir doğru ise; 2F = Σ (yn+1 – yn )(xn+1+xn) formülü yine geçerlidir. Çünkü burada ölçü doğrusunun altında kalan yamukların ordinatlarının farkları (yn+1 – yn)dır. Buna göre, orijin noktasına daha yakın olan noktanın ordinat değerinden daha uzak noktanın ordinat değeri çıkarılacağı için “–“ işaretlenir. Apsislerde eksi işaretli olduklarından çarpım işareti yine “ + “ olacaktır.

Önemli olan (p3) ve (p4) numaralı köşeler arasında kalan alandır. Burada paralel kenarların biri artı diğeri ordinat ekseninin altında olduğu için eksi işaretlidir. Dikkat edilecek husus burada hesaplanmak istenen alan p3, y3, s üçgeninin alanı iken şekilde taranmış olan s, y4, p4 üçgenin alanı kadar eksik bir hesap yapılmış olacaktır. Yani hesaplanmış olan NM y3 S yamuğunun alanına eşit olacaktır.

Çünkü bu kısmın alan hesabı 2F = Σ (yn+1 – yn )(xn+1+xn) formül gereğince
(y4- y3)(x4+x3) şeklinde veya x4’ün işareti “ – “ olduğu için (y4- y3)(x3-x4) şeklinde yapılacaktır.
Oysa burada MN = sy4 olduğundan (y4- y3) = MN + y3S’dir, ikinci çarpan ise x4 eksi değerli olduğundan (x3-x4) = My3 olacaktır.
Taranmış olan üçgenin alanı kadar bir alan eksik hesaplanmasına karşılık p4 y4 y5 p5 yamuğunun hesabında da bu üçgenin alanına eşit bir alan fazla olarak hesaplanacaktır. Az ve fazla olarak hesaplanan alanlar birbirlerine eşit olduğundan parselin alanı doğru olarak hesaplanır.
Yukarıdaki örneklerde ölçü doğrusu ordinat olarak alınmıştır. Ölçü doğrusu apsis olarak alınırsa formülde ordinatlarla apsisler yer değiştirir.

2F = Σ (xn+1 – xn )(yn+1+yn)–
Ancak bu formülden bulunan değer, 2F = Σ (yn+1 – yn)(xn+1 + xn) formülünden bulunan değerin ters işaretlisidir. Sonuçları “ – “ yerine “ + “ işaretli olarak bulmak istersek birinci çarpandaki x değerlerinin yerini değiştirebiliriz.

2F = Σ ( xn – xn+1 )( yn + yn+1 )
Yukarıdaki formüllere Gauss tarafından bulunduğu ve alanlar yamuklardan yaralanılarak hesaplandığı için “Gauss’un yamuklarla alan hesabı formülleri” denir.
Bu formüller, ölçü doğrundan geçen bir dik koordinat sistemi yerine herhangi bir koordinat sistemine göre hesaplanmış koordinatlarda kullanıldığı zaman da geçerlidir.

Örnek:

Kontrolü:

B.2. Üçgenlere Göre Alan Hesabı

Koordinatlarla alan hesabını daha kolaylaŞtırmak için parselin alanını yamuklar yerine üçgenlerle hesaplayabiliriz. Buna göre Şekil 4’teki parselin alanı, 2F=( y3 – y1 )x2 + ( y4 – y2 )x3 + ( y6-y4 )x5 + ( y1- y5 )x6 şeklinde hesaplanabilir.

Bu formülde üçüncü ve dördüncü terimlerdeki y’ler farkı “ – “ değerli çıkacağı ve bunlarla çarpılacak olan x5 ve x6 değerlerinde “ – “değerli olduklarından sonuç yine “ + “ olacaktır.
Formül incelenecek olursa daima bir noktanın x değeri ile bu noktadan bir sonraki ve bir önceki noktaların y değerleri farkları çarpımlarının toplamı, alanın iki katını vermektedir. Buna göre alan formülü genel olarak,
2F = Σ ( yn+1 – yn-1 )xn şeklinde yazılabilir.

2F = Σ ( yn+1 – yn-1 )xn formülünü yukarıdaki Şekil 4 için yazarsak,

2F=( y3 – y1 )x2 + ( y4 – y2 )x3 + ( y6-y4 )x5 + ( y1- y5 )x6 

formülünde yazılmış olanların iki terim daha fazla olduğunu görürüz. Bu terimler (y5 – y3 ) x4 ve ( y2 – y6 ) x1 dir. Ancak şekilde görüldüğü gibi x4 = 00 ve x1 = 00 olduğundan bunların çarpımları sıfır olacağı için yukarıdaki formüle yazılmamıştır.
Eğer ölçü doğrusu olarak y ekseni yerine x eksenini alırsak 2F = Σ ( yn+1 – yn-1 )xn formülündeki y’lerle x’ler yer değiştirir.
2F = Σ ( xn+1 – xn-1 )yn Ancak bu formül ile bulunacak değerler “ – “ işaretli olacaktır. Fakat parantez içindeki x’lerin yerleri değiştirilirse parantezin işareti de değiştirilmiş olacağından sonuç yine “ + “ işaretli olarak bulunur. Buna göre kesin formül, 2F = Σ ( xn-1 – xn+1 )yn şeklinde yazılır.

Bu formüller ölçü doğrusunun herhangi bir doğru olması hâlinde de geçerlidir.

Tablo dökümü:

Anlaşılmayan yerler için yorum bırakarak dönüş yapabilirsiniz.

Kutupsal Alım Yöntemi

Bir Cevap Yazın

Kutupsal alım yönteminde arazi noktalarının yatay konumları ile yükseklikleri birlikte
belirlenir.

1-Kutupsal Alım Yöntemi

Koordinatları ve yüksekliği (kotu) bilinen bir harita sabit tesisine (poligon, nirenginoktası
vb.) elektronik teodolit aleti kurularak ölçülecek noktaların konumları kutupsal yöntemle, yükseklikleri ise trigonometrik olarak belirlenir. Açı ölçümleri sabit doğrultu üzerinden yapılır ve grad cinsinden ifade edilir.

Kutupsal Alımın Kullanıldığı Yerler

  • Yol projelerinin yapımında
  • Havai nakil hatlarının etütlerinde
  • Konut, fabrika ve inşaat alanlarında ehir imar planlarının yapımında altlık olarak kullanılacak
    hâlihazır haritaların alım işlerinde
  • Daha önceden hazırlanmış fakat düzeç eğrileri arasındaki kot farkı bazı projeler için yetersiz olan haritaların bütünleme alım işlerinde
Arazi İşlemleri (Elektronik Alete Göre Arazi İşlemleri)
  • Kutupsal alım yapılacak alanda koordinatları bilinen bir ve daha fazla nokta belirlenir.
  • Kutupsal alım yapılacak alanda poligon ağı kurulur.
  • Kutupsal alımı yapılacak alanın ölçü krokisi hazırlanır.
Bunlar tamamlandıktan sonra kutupsal alım işlemini yapacak ekip,aralarında görev bölümü yapar. Bir
kutupsal alım ekibi; bir alet operatörü, bir krokici,bir veyaiki reflektörcü olmak üzere yaklaşık üç-dört kişiden oluşur.
Bu ölçü işlemi,poligon noktalarından polar koordinat (kutupsal) sistemine göre
yapılır.
Kutupsal alım işleminde yatay açı, düşey açı ve eğik mesafe ölçülmektedir.
Kutupsal alım yöntemi, hemen hemen bütün haritacılık işlemlerinde (yol ve demir yolu projelerinin yapımında, havainakil hatları etütlerinde, konut ve fabrika inşaatı alanları ile imar planı yapımına altlık oluşturacak hâlihazır harita alımı işlerinde) uygulanmaktadır.
Alet Operatörünün Görevleri
  • Aleti ölçü yapılacak poligon noktası üzerine kurup düzeçler.
  • Alet yüksekliğini ölçer (alet yüksekliği aletin yatay ekseninden, poligon noktası üzerine olan düşey uzaklığıdır).
  • Poligon noktasına tutulan reflektördeki değerleri okur.

Krokicinin Görevleri

  • Dikkatli çalışmalıdır çünkü krokici,kutupsal alım ekibinin en önemli elemanıdır
  • Krokici işini iyi bilmelidir çünkü haritanın doğruluk derecesi krokicinin arazide reflektör tutulan noktaları iyi seçip seçmemesine bağlıdır.
  • Krokici önceden veya ölçü sırasında arazinin bir krokisini yaparak reflektör tutulan yerleri işaretler, yanına numarasını yazar.
  • Reflektör tutulan yerler; çizimde detayların iyi çizilebilmesine olanak verecek şekilde seçilmelidir.
  • Eş yükseklik eğrilerinin araziyi sağlıklı gösterebilmesi için noktaların gereken yerde ve sıklıkta alınıp ölçülmesi sağlanmalıdır.
  • Bunu sağlamak için karneci; arazinin tepe, dere, boyun noktaları ve eğim değişimleri gibi karakteristik noktalarında reflektör tutulmasını sağlayarak
    ölçü yaptırır.
  • Ölçü krokilerine ölçüyü yapan alet operatörünün ve krokicinin adları, ölçü yapılan gün, ölçü yapılan yerin (şehir, kasaba veya köy) adı, kroki numarası,
    ölçü yapılan poligon noktalarının numaraları ile krokideki ilk ve son noktaların numaraları yazılır.
Reflektörcünün Görevleri
  • Krokicinin gösterdiği yerlere reflektörü düşey durumda tutar. Alet operatörü, reflektöre uygulama yaptıktan sonra bir işaretle okumanın yapıldığını bildirince reflektörü başka bir noktaya götürür.
  • Kutupsal olarak yerleşik alan dışındaki demir yolu, hendek, çit, şev, yol, tonç, ark, telgraf direkleri, kuyu, tel örgü gibi bütün doğal ve yapay ayrıntılar; bütün doğal ve yapay sınırlar; bağ meyve ve gül bahçeleri; zeytinlik, fidanlık, incirlik, çayır, tarla, mera ve ormanlık gibi kültür sınırları aslına uygun olarak çizilebilecek sıklıkta nokta alınarak ölçülür. Bunlardan başka kayalıklar, kumluk ve dere yatakları, döküntü sel yarıntıları ve izleri, kum taş ocakları sınırları uygun şekilde noktalar alınarak ve yardımcı ölçüleri krokide gösterilerek ölçülür.
  • Mesken olmayan alanlardaki binalar, köprü, çeşme ve muntazam duvar gibi sabit tesisler meskenli sahalarda olduğu gibi ölçülür.
  • Bütün ölçüler bittikten sonra bir özet çizelgesi hazırlanır ve ölçü krokilerinin başına eklenir. Bu özet çizelgesinin çizim sırasında aranılan krokileri kolayca bulmak için kullanılır.
    Bu özet çizelgesinde sırasına göre poligon numarası, ölçü yapılan poligon numaraları, her poligondaki kutupsal noktaların başlangıç numaraları ve bütün numaralar bulunur.